Metamathematisch

Metamathematisch heißen die Spekulationen, welche sich mit der Untersuchung nicht-euklidischer Räume, wie z.B. des pseudosphärischen, hyperbolischen und der mehrdimensionalen beschäftigen. Unser dreidimensionaler Raum, in dem ein Punkt durch drei voneinander unabhängige Variable (oder durch Abstände von drei aufeinander senkrechten Koordinaten) bestimmt ist und in dem das Parallelenaxiom gilt, ist nicht der einzig denkbare, obwohl der einzig vorstellbare, sondern nur eine Spezies des allgemeinen analytischen Begriffs, einer n-fach bestimmten Mannigfaltigkeit. In einem Räume von n Dimensionen würde jeder Punkt durch n voneinander unabhängige Variable bestimmt. Ein Raum von vier Dimensionen z.B. ist logisch denkbar, wenn auch nicht vorstellbar. Zu einer wirklichen Definition des Raumes führen die metamathematischen Spekulationen nicht, und die Theorie n-dimensionaler Räume oder solcher Räume, in denen die Summe der Dreieckswinkel nicht 180° groß ist, hat keinen wirklichen Erkenntniswert; aber sie haben die Bedeutung, daß sie zeigen, daß unser Raum uns nicht unabhängig von der Erfahrung gegeben ist, und daß die geometrischen Axiome nicht absolute Notwendigkeit in sich schließen, sondern auch nur Hypothesen sind, wenn auch solche, die sich überall durch die Erfahrung bestätigt haben. Übrigens stammt die Idee andersartiger Räume, als der euklidische ist, nicht erst, wie gewöhnlich behauptet wird, von Gauß, Riemann, Lobatschewsky usw. her, sondern von Kant (1724-1804), der sie in seinen vorkritischen Schriften hinwirft. Vgl. Kant, Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte (1747) § 9 ff. v. Helmholtz, Ursprung und Bedeutung d. geom. Axiome. Braunschw. 1876. Liebmann, Zur Analysis d. Wirklichkeit. 2. Aufl. 1880. B. Erdmann, Die Axiome der Geometrie. Leipzig 1877.