§ 39. Geometrie

Eben so beruht auf dem Nexus der Lage der Teile des Raums die ganze Geometrie. Sie wäre demnach eine Einsicht in jenen Nexus: da solche aber, wie oben gesagt, nicht durch bloße Begriffe möglich ist, sondern nur durch Anschauung; so müßte jeder geometrische Satz auf diese zurückgeführt werden, und der Beweis bestände bloß darin, dass man den Nexus, auf dessen Anschauung es ankommt, deutlich heraushöbe; weiter könnte man nichts tun. Wir finden indessen die Behandlung der Geometrie ganz anders. Nur die zwölf Axiome Euklids läßt man auf bloßer Anschauung beruhen, und sogar beruhen von diesen eigentlich nur das neunte, elfte und zwölfte auf einzelnen verschiedenen Anschauungen, alle die andern aber auf der Einsicht, dass man in der Wissenschaft nicht, wie in der Erfahrung, es mit realen Dingen, die für sich neben einander bestehen und ins Unendliche verschieden sein können, zu tun habe; sondern mit Begriffen, und in der Mathematik mit Normalanschauungen, d.h. Figuren und Zahlen, die für alle Erfahrung gesetzgebend sind und daher das Vielumfassende des Begriffs mit der durchgängigen Bestimmtheit der einzelnen Vorstellung vereinigen. Denn obgleich sie, als anschauliche Vorstellung, durchweg genau bestimmt sind und auf diese Weise für Allgemeinheit durch das Unbestimmtgelassene keinen Raum geben; so sind sie doch allgemein: weil sie die bloßen Formen aller Erscheinungen sind, und als solche von allen realen Objekten, denen eine solche Form zukommt, gelten. Daher von diesen Normalanschauungen, selbst in der Geometrie, so gut als von den Begriffen, Das gelten würde, was Plato von seinen Ideen sagt, dass nämlich gar nicht zwei gleiche existieren können, weil solche nur Eine wären.^*) Dies würde, sage ich, auch von den Normalanschauungen in der Geometrie gelten, wären sie nicht, als allein räumliche Objekte, durch das bloße Nebeneinandersein, den Ort, unterschieden. Diese Bemerkung hat, nach dem Aristoteles, schon Plato selbst gemacht: eti de, para ta aisthêta kai ta eidê, ta mathêmatika tôn pragmatôn einai phêsi metaxy, diapheronta tôn men aisthêtôn tô aidia kai akinêta einai, tôn de eidôn tô ta men poll'atta homoia einai, to de eidos auto hen hekaston monon (item praeter sensibilia et spezies, mathematica rerum ait media esse, a sensibilibus quidem differentia eo, quod perpetua et immobilia sunt, a speciebus vero eo, quod illorum quidem multa quaedam similia sunt, species vero ipsa unaquaeque sola). Metaph. I, 6, womit X, 1 zu vergleichen. Die bloße Einsicht nun, dass ein solcher Unterschied des Orts die übrige Identität nicht aufhebt, scheint mir jene neun Axiome ersetzen zu können und dem Wesen der Wissenschaft, deren Zweck es ist, das Einzelne aus dem Allgemeinen zu erkennen, angemessener zu sein, als die Aufstellung neun verschiedener Axiome, die auf Einer Einsicht beruhen. Alsdann nämlich wird von den geometrischen Figuren gelten, was Aristoteles, Metaph. X, 3 sagt: en toutois hê isotês henotês (in illis aequalitas unitas est).

Von den Normalanschauungen in der Zeit aber, den Zahlen, gilt sogar kein solcher Unterschied des Nebeneinanderseins, sondern schlechthin, wie von den Begriffen, die identitas indiscernibilium, und es gibt nur Eine Fünf und nur Eine Sieben. Auch hier ließe sich ein Grund dafür finden, dass 7 + 5 = 12 nicht, wie Herder in der Metakritik meint, ein identischer, sondern wie Kant so tiefsinnig entdeckt hat, ein synthetischer Satz a priori ist, der auf reiner Anschauung beruht. 12 = 12 ist ein identischer Satz.

Auf die Anschauung beruft man also in der Geometrie sich eigentlich nur bei den Axiomen. Alle übrigen Lehrsätze werden demonstriert, d.h. man gibt einen Erkenntnisgrund des Lehrsatzes an, welcher Jeden zwingt denselben als wahr anzunehmen: also man weist die logische, nicht die transzendentale Wahrheit des Lehrsatzes nach. (§§ 30 und 32.) Diese aber, welche im Grund des Seins und nicht in dem des Erkennens liegt, leuchtet nie ein, als nur mittelst der Anschauung. Daher kommt es, dass man nach so einer geometrischen Demonstration zwar die Überzeugung hat, dass der demonstrierte Satz wahr sei, aber keineswegs einsieht, warum was er behauptet so ist, wie es ist: d.h. man hat den Seinsgrund nicht, sondern gewöhnlich ist vielmehr erst jetzt ein Verlangen nach diesem entstanden. Denn der Beweis durch Aufweisung des Erkenntnisgrundes wirkt bloß Überführung (convictio), nicht Einsicht (cognitio): er wäre deswegen vielleicht richtiger elenchus, als demonstratio zu nennen. Daher kommt es, dass er gewöhnlich ein unangenehmes Gefühl hinterläßt, wie es der bemerkte Mangel an Einsicht überall gibt, und hier wird der Mangel der Erkenntnis, warum etwas so sei, erst fühlbar durch die gegebene Gewißheit, dass es so sei. Die Empfindung dabei hat Ähnlichkeit mit der, die es uns gibt, wenn man uns etwas aus der Tasche, oder in die Tasche, gespielt hat, und wir nicht begreifen wie. Der, wie es in solchen Demonstrationen geschieht, ohne den Grund des Seins gegebene Erkenntnisgrund ist manchen Lehren der Physik analog, die das Phänomen darlegen, ohne die Ursache angeben zu können, wie z.B. der Leidenfrostische Versuch, sofern er auch im Platinatiegel gelingt. Hingegen gewährt der durch Anschauung erkannte Seinsgrund eines geometrischen Satzes Befriedigung, wie jede gewonnene Erkenntnis. Hat man diesen, so stützt sich die Überzeugung von der Wahrheit des Satzes allein auf ihn, keineswegs mehr auf den durch Demonstration gegebenen Erkenntnisgrund. Z.B. den 6. Satz des ersten Buchs Euklids: »Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich sind, sind auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten gleich« beweist Euklid so: (siehe Fig. 3) Das Dreieck sei a b g, worin der Winkel a b g dem Winkel a g b gleich ist; so behaupte ich, dass auch die Seite a g der Seite a b gleich ist.

Denn ist die Seite a g der Seite a b ungleich, so ist eine davon größer, a b sei größer. Man schneide von der größern a b das Stück d b ab, das der kleinern a g gleich ist, und ziehe d g. Weil nun (in den Dreiecken d b g, a b g) d b gleich a g und b g beiden gemeinschaftlich ist, so sind die zwei Seiten d b und b g den zwei Seiten a g und g b gleich, jede einzeln genommen, der Winkel d b g dem Winkel a g b, und die Grundlinie d g der Grundlinie a b, und das Dreieck a b g dem Dreieck d g b, das größere dem kleineren, welches ungereimt ist. a b ist also a g nicht ungleich, folglich gleich.

In diesem Beweis haben wir nun einen Erkenntnisgrund der Wahrheit des Lehrsatzes. Wer gründet aber seine Überzeugung von jener geometrischen Wahrheit auf diesen Beweis? und nicht vielmehr auf den durch Anschauung erkannten Seinsgrund, vermöge welches, (durch eine Notwendigkeit die sich weiter nicht demonstrieren, sondern nur anschauen läßt,) wenn von den beiden Endpunkten einer Linie sich zwei andere gleich tief gegen einander neigen, sie nur in einem Punkt, der von beiden jenen Endpunkten gleich weit entfernt ist, zusammentreffen können, indem die entstehenden zwei Winkel eigentlich nur Einer sind, der bloß durch die entgegengesetzte Lage als zwei erscheint, weshalb kein Grund vorhanden ist, aus dem die Linien näher dem Einen als dem andern Punkte sich begegnen sollten.

Durch Erkenntnis des Seinsgrundes sieht man die notwendige Folge des Bedingten aus seiner Bedingung, hier der Gleichheit der Seiten aus der Gleichheit der Winkel, ein, ihre Verbindung: durch den Erkenntnisgrund aber bloß das Zusammendasein Beider. Ja, es ließe sich sogar behaupten, dass man durch die gewöhnliche Methode der Beweise eigentlich nur überführt werde, dass Beides in gegenwärtiger, zum Beispiel aufgestellter Figur zusammen dasei, keineswegs aber dass es immer zusammen dasei, von welcher Wahrheit (da die notwendige Verknüpfung ja nicht gezeigt wird) man hier eine bloß auf Induktion gegründete Überzeugung erhalte, die darauf beruht, dass bei jeder Figur, die man macht, es sich so findet. Freilich ist nur bei so einfachen Lehrsätzen, wie jener sechste Euklids, der Seinsgrund so leicht in die Augen fallend: doch bin ich überzeugt, dass bei jedem, auch dem verwickeltesten Lehrsatze, derselbe aufzuweisen und die Gewißheit des Satzes auf eine solche einfache Anschauung zurückzuführen sein muß. Auch ist sich Jeder der Notwendigkeit eines solchen Seinsgrundes für jedes räumliche Verhältnis, so gut wie der Notwendigkeit der Ursache für jede Veränderung, a priori bewußt. Allerdings muß derselbe, bei komplizierten Lehrsätzen, sehr schwer anzugeben sein, und zu schwierigen geometrischen Untersuchungen ist hier nicht der Ort. Ich will daher, bloß um noch deutlicher zu machen was ich meine, einen nur wenig komplizierteren Satz, dessen Seinsgrund jedoch wenigstens nicht sogleich in die Augen fällt, auf selbigen zurückzuführen suchen. Ich gehe zehn Lehrsätze weiter, zum sechszehnten, »In jedem Dreieck, dessen eine Seite verlängert worden, ist der äußere Winkel größer, als jeder der beiden gegenüberstehenden innern.« Euklids Beweis ist folgender: (siehe Fig. 4).

Das Dreieck sei a b g: man verlängere die Seite b g nach d, und ich behaupte, dass der äußere Winkel a g d größer sei, als jeder der beiden innern gegenüberstehenden. — Man halbire die Seite a g bei e, ziehe b e, verlängere sie bis z und mache e z gleich e b, verbinde z g und verlängere a g bis h. — Da nun a e gleich e g und b e gleich e z ist, so sind die zwei Seiten a e und e b gleich den zwei Seiten g e und e z, jede einzeln genommen, und der Winkel a e b gleich dem Winkel z e g : denn es sind Scheitelwinkel. Mithin ist die Grundlinie a b gleich der Grundlinie z g und das Dreieck a b e ist gleich dem Dreieck z e g und die übrigen Winkel den übrigen Winkeln, folglich auch der Winkel b a e dem Winkel e g z. Es ist aber e g d größer als e g z, folglich ist auch der Winkel a g d größer als der Winkel b a e. — Halbiert man auch b g, so wird auf ähnliche Art bewiesen, dass auch der Winkel b g h, d.i. sein Scheitelwinkel a g d größer sei als a b g.

Ich würde den selben Satz folgendermaaßen beweisen: (siehe Fig. 5) Damit Winkel b a g nur gleich komme, geschweige übertreffe, Winkel a g d, müßte (denn das eben heißt Gleichheit der Winkel) die Linie b a auf g a in der selben Richtung liegen wie b d, d.h. mit b d parallel sein, d.h. nie mit b d zusammentreffen: sie muß aber (Seinsgrund), um ein Dreieck zu bilden, auf b d treffen, also das Gegenteil dessen tun, was erfordert wäre, damit Winkel b a g nur die Größe von a g d erreichte.

Damit Winkel a b g nur gleich komme, geschweige übertreffe, Winkel a g d, müßte (denn das eben heißt Gleichheit der Winkel) die Linie b a in der selben Richtung auf b d liegen wie a g, d.h. mit a g parallel sein, d.h. nie mit a g zusammentreffen: sie muß aber, um ein Dreieck zu bilden, auf a g treffen, also das Gegenteil tun von dem, was erfordert wäre, damit Winkel a b g nur die Größe von a g d erreichte.

Durch alles Dieses habe ich keineswegs eine neue Methode mathematischer Demonstrationen vorschlagen, auch eben so wenig meinen Beweis an die Stelle des Euklidischen setzen wollen, als wohin er, seiner ganzen Natur nach und auch schon weil er den Begriff von Parallellinien voraussetzt, der im Euklid erst später vorkommt, nicht paßt; sondern ich habe nur zeigen wollen, was Seinsgrund sei und wie er sich vom Erkenntnisgrunde unterscheide, indem dieser bloß convictio wirkt, welche etwas ganz Anderes ist, als Einsicht in den Seinsgrund. Daß man aber in der Geometrie nur strebt convictio zu wirken, welche, wie gesagt, einen unangenehmen Eindruck macht, nicht aber Einsicht in den Grund des Seins, die, wie jede Einsicht, befriedigt und erfreut; Dies möchte nebst Anderem ein Grund sein, warum manche sonst vortreffliche Köpfe Abneigung gegen die Mathematik haben.

Ich kann mich nicht entbrechen, nochmals die, schon an einem andern Orte gegebene Figur herzusetzen Fig. 6), deren bloßer Anblick, ohne alles Gerede, von der Wahrheit des Pythagorischen Lehrsatzes zwanzig Mal mehr Überzeugung gibt, als der Euklidische Mausefallenbeweis. Der für dieses Kapitel sich interessirende Leser findet den Gegenstand desselben weiter ausgeführt in der »Welt als Wille und Vorstellung«, Bd. I, § 15, und Bd. 2, Kap. 13.

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^*) Die Platonischen Ideen lassen sich allenfalls beschreiben als Normalanschauungen, die nicht nur, wie die mathematischen, für das Formale, sondern auch für das Materiale der vollständigen Vorstellungen gültig wären: also vollständige Vorstellungen, die, als solche, durchgängig bestimmt wären, und doch zugleich, wie die Begriffe) Vieles unter sich befaßten; d.h. nach meiner § 28 gegebenen Erklärung, Repräsentanten der Begriffe, die ihnen aber völlig adäquat wären.