Geometrische Beweise

Für musterhaft bewiesene Sätze, die also keine bloßen Hypothesen sind, gelten seit zweitausend Jahren die Lehrsätze der Euklidischen Geometrie, wie sie noch heute in unseren Schulen gelehrt werden. In der Logik wird uns erzählt, dass diese Lehrsätze als neue Wahrheiten durch Schlüsse aus ihren Prämissen herausgezogen wurden. In der Tat weiß der Anfänger, dem man zum erstenmal ein Dreieck oder einen Kreis zeigt, noch nicht, dass die Summe der Dreieckswinkel zwei Rechte betrage oder dass der Peripheriewinkel über einem Durchmesser ein rechter Winkel sei. Über die Logik hinaus scheinen solche Sätze materielle Wahrheiten zu sein, die in den Begriffen Dreieck oder Kreis noch nicht enthalten waren und die erst bewiesen werden müssen. Aber auch die Existenz des Blutkreislaufs gehörte nicht zu dem Begriffe des Menschen, bevor ihn Harvey beobachtet hatte. Die Funktion der Nerven und des Gehirns gehörte noch für Aristoteles nicht zu dem Begriff Mensch. Jetzt sind alle diese Dinge notwendige Merkmale dieses Begriffs, und man würde doch einen Anatomen auslachen, der die Notwendigkeit der beobachteten anatomischen Merkmale in der Manier des Euklides beweisen wollte, wie es übrigens Aristoteles für die von ihm gekannten oder eingebildeten Eigenschaften des menschlichen Körpers oft wirklich getan hat. Vielleicht wird man einmal auch über die musterhaften Beweise unserer Geometrie zu lachen imstande sein, wenn die analytische Geometrie dahin gelangen sollte, die Entstehung der Raumfiguren so deutlich zu machen, wie die Biologie die Entstehung der menschlichen Organe deutlich zu machen sucht.

Es geht also sogar bezüglich der geometrischen Beweise der Zug der heutigen Forschung dahin, den Beweis durch Anschauung zu ersetzen, also es dämmert die Erkenntnis, dass sogar auf diesem unkörperlichen Gebiete im Begriff schon der Schluß oder Beweis enthalten sei. Schopenhauer hat den Versuch gemacht, den Pythagoreischen Lehrsatz anschaulicher zu machen, als irgend ein Beweis es vermochte. Die analytische Geometrie vollends macht für mathematische Augen alle Beweise des Euklides überflüssig.

Was all diese alten Beweise so todsicher erscheinen ließ, so erhaben über andere Beweise von Erklärungen der Wirklichkeitswelt, das scheint mir in einem besonderen Umstände zu liegen. Darin nämlich, dass die ganze Wissenschaft der Geometrie nicht Begriffe zu erklären sucht, sondern unmittelbare Erscheinungen. Die Geometrie ist eine vorsprachliche, vorbegriffliche Wissenschaft: wohl bilden wir zu praktischen Zwecken die Begriffe oder Worte Kreis. Dreieck usw.; die Geometrie aber hat es unmittelbar gar nicht mit diesen Begriffen zu tun, sondern jedesmal und ausschließlich nur mit dem Sinneseindruck von einem Raumgebilde. Ohne ein Wort zu sprechen oder zu denken, kann ich eine Menge Eigenschaften des Kreises, des Dreiecks beobachten. Ohne Worte können darum viele Tiere die Geometrie sogar praktisch anwenden, wie die Bienen ihre regelmäßigen sechseckigen Honigzellen bauen; wenn nicht etwa diese Zellen aus mechanischen Gründen sechseckig werden. Ein geometrischer Lehrsatz wird durch eine Zeichnung ohne Worte deutlicher als durch Worte ohne Zeichnung. Die gesamte Geometrie sammelt eigentlich die Sinneseindrücke des Raums, ohne sie zu erklären, ohne sich um die Hypothese ihrer Wirklichkeit zu bekümmern. Sie erhebt sich nicht über ein Gehirn, welches die Farbeneindrücke auf der Netzhaut wahrnehmen, verbinden, benützen würde, ohne sich um die Frage zu bekümmern, ob diese Farbeneindrücke von einer Außenwelt verursacht seien. Oder noch besser: das geometrische Auge sieht die Raumverhältnisse so unmittelbar, wie das Ohr die Schwingungsverhältnisse unmittelbar hört, wenn Musik gemacht wird. Darum ist auch die Musik eine vorsprachliche Kunst. Ohne Gedanken kann das mathematische Gehirn geometrische Vorstellungen verbinden, ohne Gedanken, das heißt ohne Sprache, genießen wir die Musik. Dass wir die Tonverhältnisse mit Worten bezeichnen, dass wir die geometrischen Verhältnisse in ebenso künstlichen Lehrsätzen aussprechen und mitteilen können, das hat mit der Musik und mit dem Räume nichts zu tun.

Dieser Umstand hat aber die äußerst wichtige Folge, dass die geometrischen Verhältnisse — ob wir sie nun anschauen oder in Lehrsätze fassen — nicht auf Hypothesen beruhen, wie alle diejenigen Sätze, welche den begrifflichen Wissenschaften angehören.